Przekształcenie Fouriera dystrybucji wolno rosnących

W module policzyliśmy transformacje Fouriera z \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) wykorzystując własność całkową dystrybucji \( \hskip 0.3pc \delta,\hskip 0.3pc \) chociaż wcześniej przekstałcenie Fouriera dla dystrybucji nie zostało zdefiniowane. Aby poprawnie sformułować uzyskane tam rezultaty, w niniejszym paragrafie podamy definicje przekształcenia Fouriera na zbiorze dystrybucji wolno rosnących. Przypomnijmy, że \( \hskip 0.3pc \delta \hskip 0.3pc \) jest dystrybucją wolno rosnącą. W celu zapoznania się z dalszymi uogólnieniami przekształcenia Fouriera dla dystrybucji, w szczególności z definicją przekształcenia Fouriera dla dowolnych dystrybucji z \( \hskip 0.3pc D^*(\mathbb R^n),\hskip 0.3pc \) odsyłamy Czytelnika do opracowań monograficznych.

Niech \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) oznacza przestrzeń funkcji szybko malejących (zob. definicja 1 z modułu Dystrybucje wolno rosnące-1 ). Pokażemy, że transformacja Fouriera przeprowadza przestrzeń \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) w siebie, ponadto jest przekształceniem ciągłym, tzn. jeśli ciąg elementów \( \hskip 0.3pc \{\varphi _k\}\hskip 0.3pc \) z przestrzeni \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do elementu \( \hskip 0.3pc \varphi \in S(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) w sensie zbieżności w przestrzeni \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \), to ciąg \( \hskip 0.3pc \{\hat{\varphi} _k\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do \( \hskip 0.3pc \hat{\varphi}\hskip 0.3pc \) w sensie tej samej zbieżności.

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc \varphi \in S(\mathbb R^n).\hskip 0.3pc \)

TEZA:

Wtedy \( \hskip 0.3pc \hat \varphi={\cal F}(\varphi) \in S(\mathbb R^n).\hskip 0.3pc \)

DOWÓD:

Dla uproszczenia zapisu dowód poprowadzimy dla \( \hskip 0.3pc n=1\hskip 0.3pc \) (dla \( \hskip 0.3pc n> 1\hskip 0.3pc \) rozumowanie jest analogiczne ).
Niech \( \hskip 0.3pc \varphi \in S(\mathbb R ).\hskip 0.3pc \) Oczywście transformata Fouriera

\( \hat{\varphi }(y)= \dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-xyi} \varphi (x)dx \)

jest dobrze określona, ponadto posiada pochodą dowolnego rzędu \( \hskip 0.3pc k,\hskip 0.3pc \) która wyraża się wzorem

\( \hat{\varphi}^{(k)}(y)= (-i)^k\dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-xyi} x^k\varphi (x)dx. \)

Niech \( \hskip 0.3pc m\in \mathbb N.\hskip 0.3pc \) Na mocy własności (v) i (vi) z modułu Definicja i podstawowe własności transformaty Fouriera-1 mamy

\( \begin{aligned}(iy)^m\hat{\varphi }^{(k)}(y)=&(iy)^m{\cal F}\Big((-ix)^k\varphi (x)\Big)(y)= (-i)^k(iy)^m{\cal F}\Big ( x^k\varphi (x)\Big)(y)=\\=& (-i)^k{\cal F}\Big ( \tfrac{d^m}{dx^m}\big(x^k\varphi (x)\big)\Big)(y)=\\=& (-i)^k\sum_{j=1}^m {m\choose j}{\cal F}\Big( (x^k)^{(j)}(\varphi)^{(m-j)}(x)\Big)(y)=\\=&(-i)^k\sum_{j=1}^m {m\choose j}\displaystyle\int_{\mathbb R} e^{-xyi} (x^k)^{(j)}(\varphi)^{(m-j)}(x)dx. \end{aligned} \)

Z założeń o funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) wynika, że każda z całek po prawej stronie ostatniego wzoru jest ograniczona. W konsekwencji funkcja \( \hskip 0.3pc y\to |y|^m\hat{\varphi }^{(k)}(y)\hskip 0.3pc \) jest ograniczona. Ponieważ \( \hskip 0.3pc m, k \in \mathbb N \cup \{0\}\hskip 0.3pc \) są dowolne, na mocy uwagi 1 z modułu Dystrybucje wolno rosnące-1 transformata \( \hskip 0.3pc \hat \varphi \in S(\mathbb R )\hskip 0.3pc \).

Uwaga 1:

Używając podobnych argumentów można pokazać, że jeśli ciąg elementów \( \hskip 0.3pc \{\varphi _k\}\hskip 0.3pc \) z przestrzeni \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do zera w \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n),\hskip 0.3pc \) to ciąg w \( \hskip 0.3pc \{\hat{\varphi} _k={\cal F}(\varphi_k)\},\hskip 0.3pc \) jest również zbieżny do zera w \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n).\hskip 0.3pc \) Ponieważ przekształcenie Fouriera jest liniowe, wynika stąd natychmiast, że jest ono przekształceniem ciągłym przestrzeni \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) w siebie.

Definicja 1:

Niech \( \hskip 0.3pc T\in S^*(\mathbb R^n),\hskip 0.3pc \) tzn. \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją wolno rosnącą. Rozważmy funkcjonał \( \hskip 0.3pc \hat T:S(\mathbb R^n)\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) dany wzorem

(1)

\( \langle \hat T,\varphi \rangle = \langle T, \hat{\varphi}\rangle . \)

Na mocy twierdzenia 1 odwzorowanie \( \hskip 0.3pc \hat T\hskip 0.3pc \) jest dobrze określone. Oczywiście jest to funkcjonał liniowy. Z uwagi 1 wynika natychmiast, że \( \hskip 0.3pc \hat T\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem ciągłym na \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n).\hskip 0.3pc \) Jest zatem dystrybucją wolno rosnąca. Dystrybucje tę będziemy nazywać transformatą Fouriera dystrybucji \( \hskip 0.3pc T,\hskip 0.3pc \) a odwzorowanie które dystrybucji \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) przyporządkowuje dystrybucje \( \hskip 0.3pc \hat T\hskip 0.3pc \) zgodnie ze wzorem ( 1 ), przekształceniem Fouriera dystrybucji wolno rosnących.

Jeśli \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną, tzn. \( \hskip 0.3pc T=T_f,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją całkowalną, to

\( \begin{aligned}\langle \hat T_f,\varphi \rangle =& \langle T_f, \hat{\varphi}\rangle = \Big {\langle}T_f, \dfrac 1 {(\sqrt{2\pi})^n} \displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{-x\cdot y\,i} {\varphi}(x)dx \Big {\rangle}=\\=& \dfrac 1{(\sqrt{2\pi})^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}f(y) \Big( \displaystyle \int_{\mathbb R^n}e^{-x\cdot y\,i} {\varphi}(x)dx \Big)dy =\\=& \displaystyle\int_{\mathbb R^n}{\varphi}(x)\Big(\dfrac 1{(\sqrt{2\pi})^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{-x\cdot y\,i}f(y)dy\Big)dx=\\=& \displaystyle\int_{\mathbb R^n}\hat f(x)\varphi (x)dx \,\,=\,\, \langle T_{\hat f},\varphi \rangle .\end{aligned} \)

Wynika stąd, że \( \hskip 0.3pc \hat T_f=T_{\hat f},\hskip 0.3pc \) co oznacza, że przekształcenie Fouriera na zbiorze regularnych dystrybucji temperowanych pokrywa się z klasycznym przekształceniem Fouriera na przestrzeni \( \hskip 0.3pc L^1(\mathbb R^n).\hskip 0.3pc \)

Moduł ten zakończymy wyznaczeniem transformaty Fouriera dystrybucji \( \hskip 0.3pc \delta. \hskip 0.3pc \) Zgodnie ze wzorem ( 1 )

\( \langle \hat {\delta }, \varphi \rangle =\langle {\delta }, \hat {\varphi} \rangle =\Big{\langle} \delta ,\,\dfrac 1{(\sqrt{2\pi})^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{-x\cdot y\,i} {\varphi}(x)dx \Big{\rangle}=\dfrac 1{(\sqrt{2\pi})^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n} {\varphi}(x)dx= \Big{\langle}\dfrac 1{(\sqrt{2\pi})^n}, \,\varphi \Big{\rangle}, \)

skąd wynika, że \( \hskip 0.3pc \hat{\delta}= (\sqrt{2\pi})^{-n}.\hskip 0.3pc \) W szczgólności, w przypadku gdy \( \hskip 0.3pc n=1,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \hat{\delta}= 1/\sqrt{2\pi}.\hskip 0.3pc \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka